Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.

Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?

Công thức Gamma

Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau:

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t}

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:

Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,.}

Khi đó ta có:

z ! = Γ ( z + 1 ) . {\displaystyle z!=\Gamma (z+1).\,}

Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành:

Γ ( z )   = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( n + k ) {\displaystyle \Gamma (z)\ =\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(n+k)}}}

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:

Γ ( z )   Γ ( 1 − z )   = π sin ⁡ ( π z ) {\displaystyle \Gamma (z)\ \Gamma (1-z)\ ={\frac {\pi }{\sin({\pi }z)}}}

Thay z = 1/2 ta thu được:

Γ ( 1 2 )   = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\ ={\sqrt {\pi }}}

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:

Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)\,.}

Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:

Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = π ⋅ [ ( n − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]} Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π / [ ( − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}

Giai thừa với số thực

Giai thừa với số thực.

Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:

z ! = Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) . {\displaystyle z!=\Pi (z)=\Gamma (z+1)\,.}

Như vậy:

( − 0 , 5 ) ! = Π ( − 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) . {\displaystyle (-0,5)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,.} ( n − 0 , 5 ) ! = Π ( n − 1 2 ) = Γ ( n + 1 2 ) . {\displaystyle (n-0,5)!=\Pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.} ( − n − 0 , 5 ) ! = Π ( − n − 1 2 ) = Γ ( − n + 1 2 ) . {\displaystyle (-n-0,5)!=\Pi \left(-n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(-n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}

Ví dụ:

• Γ ( 4.5 ) = 3.5 ! = Π ( 3.5 ) = 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 π = 8 ! 4 4 4 ! π = 105 16 π ≈ 11.63. {\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63.}
• Γ ( − 2.5 ) = ( − 3.5 ) ! = Π ( − 3.5 ) = 2 − 1 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 − 5 π = ( − 4 ) 3 3 ! 6 ! π = − 8 15 π ≈ − 0.9453. {\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453.}

Giai thừa với số phức

Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức.

Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:

Γ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ Γ ( k ) ( 1 ) k ! z k − 1 , {\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ^{(k)}(1)}{k!}}z^{k-1}\,,}

với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:

n {\displaystyle n}	g n {\displaystyle g_{n}}	approximation
0	1 {\displaystyle 1}	1 {\displaystyle 1}
1	− γ {\displaystyle -\gamma }	− 0.5772156649 {\displaystyle -0.5772156649}
2	π 2 12 + γ 2 2 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{12}}+{\frac {\gamma ^{2}}{2}}}	0.9890559955 {\displaystyle 0.9890559955}
3	− ζ ( 3 ) 3 − π 2 γ 12 − γ 3 6 {\displaystyle -{\frac {\zeta (3)}{3}}-{\frac {\pi ^{2}\gamma }{12}}-{\frac {\gamma ^{3}}{6}}}	− 0.9074790760 {\displaystyle -0.9074790760}

Ở đây γ {\displaystyle \gamma } là hằng số Euler - Mascheroni còn ζ {\displaystyle \zeta } là hàm zeta Riemann.

• .
• Đồ thị hàm Z = Re(z!).
• Đồ thị hàm Z = Im(z!).